Физика Научно-популярное Обзор Планковская длина – число столь малое, что его трудно вообразить. Если соотнести масштабы «Планковская длина – атом» симметрично, то атом к объекту относится так же, как к атому: получается размер порядка (здесь – это радиус Бора (длина ), то есть около тысячи астрономических единиц – масштаб внешнего Оортова облака. Это на семнадцать с лишним порядков меньше всего, что мы сегодня можем зондировать напрямую с помощью ускорителей. И всё же именно эта ничтожная величина, по-видимому, отмечает фундаментальный предел измеримости – место, где наши классические представления о пространстве и времени перестают работать, а квантовая механика и гравитация неизбежно встречаются. Но эта ничтожно малая величина может оказаться самым фундаментальным масштабом во Вселенной – масштабом, на котором рушатся наши привычные представления о пространстве и времени, масштабом, где квантовая механика и гравитация, эти два столпа современной физики, должны наконец встретиться. Удивительно, что путь этой константы от математического курьёза до ключевой величины квантовой гравитации занял более столетия и прошёл через трагические судьбы, забытые открытия и неожиданные прозрения. Предисловие Когда я решил разобраться в вопросе появления планковских единиц в физике, меня поразило, насколько неудовлетворительно эта тема освещается в отечественной литературе. Авторы обычно либо ограничиваются сухим размерным анализом (мол, возьмём три фундаментальные константы и составим из них величину с размерностью длины), либо, наоборот, пускаются в спекуляции о «квантовании пространства-времени» без какого-либо строгого обоснования. Между тем, физический смысл планковского масштаба как фундаментального предела измеримости был строго установлен Матвеем Петровичем Бронштейном ещё в 1935–1936 годах – задолго до знаменитых работ Джона Уилера и современных подходов к квантовой гравитации. Эта статья в значительной мере основана на историко-научных исследованиях Геннадия Ефимовича Горелика, прежде всего на его работах «Первые шаги квантовой гравитации и планковские величины» (Эйнштейновский сборник, 1978–1979) и «Матвей Бронштейн и квантовая гравитация. К 70-летию нерешённой проблемы» (УФН 175 1093–1108, 2005). Тот же материал вошёл пятой главой в книгу Горелика «Размерность пространства» (М.: Наука, 1983) и позднее – в биографическую работу Г.Е. Горелика и В.Я. Френкеля «Матвей Петрович Бронштейн». К сожалению, эти работы на сегодняшний день остаются малодоступными широкой аудитории и вряд ли попадутся в руки рядового читателя Хабра. Мне показалось важным донести эти результаты до технической аудитории – тех, кто интересуется физикой, но не имеет возможности копаться в архивных публикациях. В отличие от работ Горелика, охватывающих обширную научную биографию Бронштейна и контекст советской физики 1930-х годов, моя статья сосредоточена исключительно на одной линии развития: эволюции понимания планковских масштабов. Это путь от формальной математической конструкции Макса Планка (1899) через физическую интуицию Артура Эддингтона (1918–1932) к строгому обоснованию Бронштейна и дальнейшему развитию этой идеи Уилером в 1950–1960-х годах. Я глубоко признателен Г.Е. Горелику за его подвижническую работу по восстановлению научного наследия Бронштейна – без его исследований эта статья была бы невозможна. 1. Рождение из размерности: Макс Планк, 1899 Макс Карл Эрнст Людвиг Планк (23 апреля 1858, Киль, королевство Пруссия – 4 октября 1947, Гёттинген) – немецкий физик-теоретик, основоположник квантовой физики. Лауреат Нобелевской премии по физике (1918) и других наград, член Прусской академии наук (1894), ряда иностранных научных обществ и академий наук. В мае 1899 года Макс Планк представил в Прусской академии наук работу "Über irreversible Strahlungsvorgänge" ("О необратимых радиационных процессах") – пятую часть его продолжающегося исследования излучения. В этой работе, почти мимоходом, он предложил то, что назвал "естественными единицами измерения". Идея была проста и элегантна. К тому времени физике были известны три фундаментальные константы природы: скорость света c – предельная скорость распространения взаимодействий гравитационная постоянная – мера силы гравитации постоянная Планка ℏ (которую он только что ввел) – квант действия Планк задался вопросом: можно ли из этих трёх констант составить комбинации, которые имели бы размерности длины, времени, массы и энергии? Простой размерный анализ дал ответ: Планковская длина: Планковская масса: Планковская энергия: Для Планка это была чистая математика – способ создать систему единиц, в которой все три фундаментальные константы равны единице. Никакого глубокого физического смысла он этим величинам не придавал. Это был просто изящный математический трюк, естественная система координат для описания природы. Планк не мог знать, что эти "естественные единицы" окажутся пророческими. 2. Первое прозрение: Артур Эддингтон, 1918–1932 Почти двадцать лет прошло, прежде чем в планковских единицах увидели нечто большее, чем математическое удобство. Это сделал Артур Эддингтон – британский астрофизик, один из первых, кто по-настоящему понял и популяризировал общую теорию относительности Эйнштейна. Артур Стэнли Эддингтон (англ. sir Arthur Stanley Eddington; 28 декабря 1882, Кендал], Уэстморленд (ныне Камбрия), Великобритания – 22 ноября 1944, Кембридж, Великобритания) – английский астрофизик. Артур Стэнли Эддингтон (1882–1944) был не просто популяризатором новой физики – он стал её главным интерпретатором для англоязычного мира. Его работы Space, Time and Gravitation (1920) и особенно The Mathematical Theory of Relativity (1923) на протяжении нескольких поколений служили физикам вторым источником для изучения общей теории относительности. Именно в этих трудах, размышляя над симметриями природы, Эддингтон обратил внимание на возможность существования фундаментальной длины, образованной из фундаментальных физических постоянных. Он подчёркивал, что такие комбинации «не зависят от произвольно выбранных единиц» и поэтому «принадлежат самой природе». В письме к Герману Вейлю он даже назвал их «числами, которые Бог знает наизусть». В 1918 году, обсуждая возможные пути объединения квантовой теории и гравитации, Эддингтон писал: «Существует фундаментальная длина, столь малая, что на ней должен измениться сам способ описания пространства». Он не проводил точных расчётов, но оценивал этот масштаб как «квадриллионные или квинтиллионные доли сантиметра» – поразительно близко к современному значению планковской длины. Эддингтон видел появление такой длины границей применимости континуальной геометрии. Он утверждал, что объединяющая теория не сможет быть «геометрической» в классическом смысле. Тем самым он предвосхитил идею, к которой физика придёт лишь десятилетия спустя: на планковских масштабах само понятие пространства-времени должно утратить привычный смысл. Это было поразительное предчувствие. В 1918 году квантовая механика только формировалась, квантовая теория поля не существовала, а объединение квантовых и гравитационных эффектов никто всерьёз не рассматривал. Но Эддингтон уже понимал: на планковском масштабе происходит что-то принципиально важное. К 1932 году его интуиция окрепла. Эддингтон начинает писать о необходимости «слияния» квантовой теории и общей теории относительности в терминах, которые кажутся удивительно современными. Он ясно видел: это не просто техническая задача, а вопрос, требующий концептуального прорыва. В 1920–1930-е годы Эддингтон разработал собственную программу поиска фундаментальных безразмерных констант. Он стремился вывести все числовые параметры физики – включая постоянную тонкой структуры – из чисто математических принципов симметрии и комбинаторики. Сегодня эта часть его работы выглядит спекулятивной, но в ней виден важный поворот: переход от концепции «измерения» к концепции «структуры» как основы физического мира. «Ни один эксперимент не может проникнуть внутрь предельной ячейки структуры пространства, так же как микроскоп не может различить атомную решётку, если его длина волны больше межатомных расстояний». (Эддингтон, Fundamental Theory, 1936) Однако Эддингтон не предоставил строгого математического анализа проблемы. Его вклад был скорее философским – он первым осознал физическую значимость планковского масштаба. Строгое доказательство этой интуиции предстояло дать другому физику в другой стране и при совсем других обстоятельствах. Таким образом, Эддингтон первым вывел планковскую длину из области размерностного анализа в область физического смысла. Хотя он не получил строгих соотношений (это позже сделает Матвей Бронштейн), он предугадал три ключевых положения: у природы существует фундаментальный масштаб, независимый от выбора единиц; этот масштаб связан с объединением квантовых и гравитационных принципов; на этом масштабе сама концепция пространства должна измениться. Поразительнее всего, что это предчувствие родилось в годы, когда квантовая механика только зарождалась, квантовая теория поля не существовала, а квантовая гравитация не обсуждалась. Эддингтон же уже видел в фундаментальной длине черту, за которой кончается классическая геометрия. Позднее Матвей Бронштейн предоставит строгие расчёты и физическое обоснование этого предела. Но честь первого прозрения принадлежит именно Эддингтону. 3. Первая теория квантовой гравитации: Матвей Бронштейн, 1935–1936 Контекст: рождение проблемы К середине 1930-х годов в физике сложилась парадоксальная ситуация. Квантовая механика торжествовала – она объясняла строение атома, химическую связь, свойства твёрдых тел. Общая теория относительности Эйнштейна описывала гравитацию как геометрию искривлённого пространства-времени. Но никто всерьёз не задумывался: а что будет, если попытаться объединить эти две теории? Проблема казалась либо тривиальной ("просто применим стандартное квантование к уравнениям Эйнштейна"), либо чисто академической ("гравитация настолько слаба, что квантовые эффекты никогда не будут заметны"). Правда, ещё в 1916 году Эйнштейн высказал мысль, что "квантовая теория должна модифицировать не только максвелловскую электродинамику, но также и новую теорию гравитации". А в 1930 году Лев Розенфельд рассмотрел систему из квантованных электромагнитного и слабого гравитационного полей. Но это были лишь общие замечания, не вскрывавшие глубину проблемы. Лишь единицы понимали, что здесь скрывается нечто фундаментальное. Одним из них был 28-летний ленинградский физик Матвей Петрович Бронштейн. Кто он был Матвей Петрович Бронштейн (19 ноября (2 декабря) 1906 – 18 февраля 1938) – советский физик-теоретик. Доктор физико-математических наук, профессор. Бронштейн принадлежал к блестящему поколению советских физиков-теоретиков, сформировавшемуся в конце 1920-х – начале 1930-х годов. Ученик Владимира Фока, друг Георгия Гамова и Льва Ландау, он работал одновременно в нескольких областях: квантовая электродинамика, астрофизика, космология, ядерная физика, теория полупроводников. Его отличала необычайная широта интересов и талантов. Корней Чуковский, близко знавший Бронштейна, вспоминал: "За свою долгую жизнь я близко знал многих знаменитых людей: Репина, Горького, Маяковского, Валерия Брюсова, Леонида Андреева, Станиславского, и потому мне часто случалось испытывать чувство восхищения человеческой личностью. Такое же чувство я испытывал всякий раз, когда мне доводилось встречаться с молодым физиком М.П. Бронштейном… Он был блистательный собеседник, эрудиция его казалась необъятной. Английскую, древнегреческую, французскую литературу он знал так же хорошо, как и русскую. В нем было что-то от пушкинского Моцарта – кипучий, жизнерадостный, чарующий ум." Но Бронштейн был не только физиком-теоретиком. Он стал одним из создателей нового жанра литературы – научно-художественного. Его книги "Солнечное вещество", "Лучи Икс", "Изобретатели радио-телеграфа", "Атомы, электроны, ядра", переиздающиеся через 30-40 лет после выхода, и сегодня поражают читателя драмой идей, столь характерной для науки нашего века. Докторская диссертация 22 ноября 1935 года в Ленинградском физико-техническом институте (ЛФТИ) состоялась защита докторской диссертации М.П. Бронштейна "Квантование гравитационных волн". Присутствовало более 45 человек. Оппонентами выступили В.А. Фок и И.Е. Тамм. Фок отметил, что работа Бронштейна – "первая работа по квантованию гравитационных волн, в которой дело доведено до получения физических результатов". Тамм в своём отзыве указал: "Нельзя не отметить чрезвычайную математическую сложность проблемы, которой посвящена диссертация. Успешное разрешение её свидетельствует о значительном математическом искусстве автора." Но самое важное – Тамм отметил фундаментальный результат Бронштейна: "В своей докторской диссертации, публично защищенной им с большим успехом, М. П. Бронштейн разработал теорию квантования гравитационных волн, имеющую существенное значение для правильного понимания ряда основных положений квантовой электродинамики." Проблема измеримости гравитационного поля Работа Бронштейна была инспирирована знаменитой дискуссией Нильса Бора и Леона Розенфельда 1933 года об измеримости электромагнитного поля в квантовой теории. Бор и Розенфельд показали, что электромагнитное поле можно измерить с любой точностью, не нарушая принципов квантовой механики и специальной теории относительности, если правильно учесть соотношение неопределённостей. Бронштейн поставил вопрос: а что будет, если добавить третью фундаментальную константу – гравитационную постоянную ? То есть рассмотреть не просто квантовую теорию () в релятивистском пространстве-времени (), а квантовую теорию гравитационного поля, где все три константы – – играют роль одновременно. В статье 1936 года "Квантование гравитационных волн" Бронштейн начинает с классической (неквантовой) теории слабого гравитационного поля как малых возмущений псевдоевклидовой геометрии. Метрический тензор записывается как: где – метрика Минковского, а все величины малы по сравнению с ед��ницей. Бронштейн пишет: "Можно было бы думать, что здесь, как и в квантовой электродинамике, получается вполне последовательная квантовомеханическая схема, содержащая величины, которые, правда, не всегда могут быть измеряемы с произвольно задаваемой точностью одновременно, но каждая из них может быть сколь угодно точно измерена в отдельности." Но оказывается, для гравитации это не так. Две границы измеримости Бронштейн рассматривает измерение компоненты гравитационного поля (символ Кристоффеля, играющий роль напряжённости гравитационного поля) в некотором объёме за промежуток времени . Для этого нужно измерить компоненту импульса пробного тела, имеющего объём , в начале и в конце промежутка времени . Что такое Г (и почему это «гравитационное поле») Идея. Символы Кристоффеля – это коэффициенты, которые говорят, как падает свободное тело в искривлённом пространстве-времени. В уравнении геодезической траектории компонента с верхним пространственным индексом и двумя нулями внизу, , отвечает за пространственное ускорение в свободном падении. Ньютоновский предел (медленные скорости, слабое поле). При и слабой гравитации геодезическое уравнение упрощается: . То есть фактически равносилен ускорению (с точностью до фактора и знака). Связь с ньютоновским потенциалом. В слабом поле метрика имеет вид где – обычный ньютоновский потенциал. Из определения символов Кристоффеля получается простая оценка: (с точностью до знака, зависящего от соглашений). Тогда что есть ровно закон Ньютона для ускорения в поле . Что стоит запомнить – это компонент, который в слабом поле численно пропорционален градиенту ньютоновского потенциала и тем самым задаёт локальное гравитационное ускорение. Неопределённость импульса состоит из двух слагаемых: Обычный квантовомеханический член (из соотношения Гейзенберга): , где – неопределённость в координате "Обратное" влияние – от собственного гравитационного поля пробного тела. Из уравнений линеаризованной ОТО следует, что неопределённость компоненты гравитационного поля где – плотность пробного тела. Отсюда Бронштейн получает, что "обратное" влияние собственного гравитационного поля пробного тела даёт вклад в неопределённость импульса: где – ньютоновская гравитационная константа. Таким образом, общая неопределённость импульса: Чтобы сделать эту неопределённость минимальной, нужно выбрать: Тогда минимальная неопределённость импульса: и соответственно минимальная неопределённость компоненты гравитационного поля: Но продолжительность измерения ограничивается снизу двумя условиями: Первое условие (8): , чтобы скорость отдачи, вызванной измерением импульса, была меньше скорости света. Отсюда: Второе условие (9): Из самого смысла измерения поля в объёме следует, что величина должна быть меньше размеров пробного тела: . Учитывая (6), получим: Критический момент: две границы сходятся Получив эти две нижние границы для , Бронштейн отмечает, что отношение первой из них ко второй: зависит от массы пробного тела , "будучи совершенно ничтожной величиной в случае электрона и становясь величиной порядка 1 в случае пылинки, весящей сотую долю миллиграмма". Для неопределённостей получаются соответственно две границы (формулы 11 и 11'): Бронштейн пишет: "Поскольку, как видно отсюда, для возможно более точного измерения в данном объёме следует применять пробные тела возможно большой массы (плотности), то существенной становится только первая граница." Время реакции T Параметр введён Бронштейном как характерное время, в течение которого усредняется изменение компонент метрического возмущения и связанной с ним величины . Он возникает при переходе от уравнения к оценке неопределённости , где поток импульса содержит скорость . Таким образом, характеризует время реакции поля на возмущение, а не интервал между измерениями. Его введение необходимо для корректного учёта динамической связи между изменением импульса пробного тела и индуцированным гравитационным возмущением поля. Но здесь появляется фундаментальное ограничение! Бронштейн указывает, что предыдущие рассуждения аналогичны соответствующим рассуждениям в квантовой электродинамике, "однако на этом месте приходится принять во внимание обстоятельство, из которого обнаруживается принципиальное различие между квантовой электродинамикой и квантовой теорией гравитационного поля. Различие это заключается в том, что в формальной квантовой электродинамике, не учитывающей структуры элементарного заряда, нет никаких принципиальных причин, ограничивающих увеличение плотности ." Но в гравитации появляется запрет! В отличие от электромагнитного поля, где заряд и масса могут рассматриваться как независимые параметры, в гравитации они связаны принципом эквивалентности: источник гравитационного поля определяется собственной массой тела. Поэтому при стремлении уменьшить размеры пробного тела вместе с ростом плотности усиливается и создаваемое им гравитационное поле. Это делает невозможным неограниченное уменьшение неопределённости поля при . Бронштейн выражает это в виде условия, ограничивающего существование пробного тела с размерами, меньшими некоторого предельного масштаба, определяемого его собственной массой: Это не «гравитационный радиус» в современном смысле (понятие чёрной дыры тогда ещё не существовало), а граница применимости классической теории: при превышении этого предела линейное приближение общей теории относительности перестаёт быть осмысленным. Если учесть это условие, формула (11) даёт абсолютный минимум неопределённости: Бронштейн понимает, что этот "абсолютный предел вычислен очень грубо, потому что при достаточно большой массе измерительного прибора начнут, вероятно, играть роль отступления от принципа суперпозиции…" Однако он считает, что "аналогичный результат сохранится и в более точной теории, так как он нисколько сам по себе не вытекает из принципа суперпозиции, а соответствует лишь тому факту, что в общей теории относительности не может существовать тел сколь угодно большой массы при заданном объеме." Когда две границы совпадают: рождение планковского масштаба Чтобы планковские величины "проявились" нужно рассмотреть не только наименьшую неопределённость, но и наименьший возможный объём. Для минимального объёма пробного тела нужно использовать максимально возможную плотность. В силу условия (12) это . Тогда границы (8) и (9) превращаются в: причём уменьшается с уменьшением , а растёт. Поэтому минимальное значение наибольшей из величин достигается при . Тогда: При этом соответствующие размеры пробного тела: и его масса: Планковские величины возникли из условия совпадения двух границ измеримости! Здесь – гравитационная константа Эйнштейна, входящая в уравнения ОТО. Когда Бронштейн получает комбинации , это эквивалентно планковскому времени, поскольку κ выражается через фундаментальную гравитационную постоянную . Раскрывая κ через G, получаем классические планковские величины: Почему бронштейновский предел отличается от планковских констант Планк впервые получил свои «натуральные единицы» (1899) из размерностного анализа фундаментальных констант – – без обращения к конкретной физической теории. Впоследствии этот способ стал традиционным и закрепился в литературе. Бронштейн, напротив, исходил непосредственно из уравнений линейной гравитации и операционного смысла измерения поля. Его множитель не является произвольным артефактом, а естественно возникает из нормировки гравитационной константы , присутствующей в уравнении Эйнштейна. В линейной теории гравитации коэффициент при удваивается: в уравнениях для возмущения метрики появляется вместо , как в полных уравнениях Эйнштейна. Это техническое следствие выбранных определений и нормировки поля, а не расхождение в физическом содержании теории. Бронштейновский результат, вероятно, наиболее точно отражает физическую реальность, показывая, как предел применимости классической гравитации следует из самой структуры её уравнений, а не из формальной игры с размерностями. Философский вывод Бронштейна Из своего анализа Бронштейн сделал вывод, опередивший время на десятилетия. "Устранение связанных с этим логических противоречий требует радикальной перестройки теории, и, в частности, отказа от римановой геометрии, оперирующей, как мы здесь видим, принципиально не наблюдаемыми величинами – а может быть, и отказа от обычных представлений о пространстве и времени и замены их какими-то гораздо более глубокими и лишёнными наглядности понятиями. "Wer's nicht glaubt, bezahlt einen Thaler" ("Кто этому не верит, тот платит талер"). Это был 1935-1936 год. Бронштейн предвидел то, о чём физика начала всерьёз говорить только в конце XX века – о необходимости отказа от континуальной структуры пространства-времени на планковских масштабах. Концептуальный куб cGh Для систематизации своих идей Бронштейн создал изящную концептуальную схему в статье 1933 года – "куб физических теорий". Три оси куба соответствуют трём фундаментальным константам: – конечная скорость света (релятивизм) Source: https://habr.com/ru/articles/957820/